帯域が足りないときは段を増やす — Q を分担させる

L 型整合の記事で、帯域を決めているのは Q だと書きました。変換比が上がるほど Q が上がり、帯域は急速に狭くなります。

では変換比が動かせないとき、どうするか。段を分けて Q を分担させるのが基本的な打ち手です。

中間インピーダンスを挟む

200 Ω を 50 Ω に合わせる場合、1段だと変換比は 4 倍で、

Q = √(200/50 − 1) = 1.7321

ここに中間インピーダンス Zm を挟み、200 → Zm → 50 と2回に分けます。Zm を幾何平均に取ると、両段の Q が等しくなります。

Zm = √(200 × 50) = 100 Ω

段1: Q = √(200/100 − 1) = 1.000
段2: Q = √(100/50  − 1) = 1.000

変換比 4 倍が、2 倍 × 2 倍に分かれました。Q が 1.73 から 1.00 に下がります。

素子値は各段について L 型の手順をそのまま適用するだけです。

どれだけ広がるか

|S11| が −15 dB を下回る連続した帯域で比べます。

1段（Q = 1.73）   0.8715 〜 1.1140 × f0   →  24.2 %
2段（Q = 1.00×2） 0.8295 〜 1.2140 × f0   →  38.4 %

素子が2つ増える代わりに、帯域は 1.6 倍になりました。段を増やすほど各段の Q は下がり、帯域はさらに広がります。極限まで進めれば、テーパー線路のような連続的な変換に行き着きます。

落とし穴 — 第2の通過帯域

上の図で気づくと思いますが、2段の応答には谷が2つあります。主帯域とは別に、1.72 × f0 付近にもう1つ −33 dB まで落ち込む点があります。

これは誤差ではなく、2段構成が持つ本来の性質です。段数を増やすと整合点も増え、設計帯域の外に意図しない通過帯域ができます。

実務では、これが問題になる場合があります。

• 送信機の出力段 — 高調波を落とすつもりの整合回路が、特定の高調波をよく通してしまう
• 受信機の入力段 — 意図しない周波数の妨害波が通ってくる
• 測定 — 設計帯域だけを掃引していると気づけない

掃引範囲を設計帯域の 2 〜 3 倍まで広げて確認するのは、このためです。今回の例なら 1.4 GHz までしか見ていなければ、第2の谷には気づきません。

検算していて実際にこれで足をすくわれました。−15 dB を横切る点を二分探索で求めたところ、山を飛び越えて「比帯域 99 %」という値が出てきます。応答を刻んで確認して初めて、間に −12 dB まで戻る山があると分かりました。帯域は端点を2つ求めるだけでなく、間が本当に連続しているかを確かめる必要があります。

λ/4 変成器でも同じ話

分布定数でも考え方は同じです。負荷が純抵抗なら、λ/4 の線路1本で整合が取れます（スタブ整合の記事）。

1段:  Zc = √(50 × 200) = 100.00 Ω

これを2段にすると、各段の変換比が下がって帯域が広がります。二項分布で設計する場合、

2段:  Zc1 = (50³ × 200)^(1/4) =  70.71 Ω
      Zc2 = (50 × 200³)^(1/4) = 141.42 Ω

線路の特性インピーダンスをこの2値で作れるかは、基板と製造条件次第です。141 Ω は細くなりすぎて作れないことがあり、そこが実装上の制約になります。集中定数の多段化に比べて、選べる値の自由度が低いのが分布定数の難しさです。

段を増やす前に確認すること

段数を増やすのは有効ですが、まず順序があります。

1. 本当に Q が原因か — 負荷モデルが非物理なだけで、実際にはもっと狭いのかもしれません（負荷モデルの記事）
2. 変換比を下げられないか — 負荷側の設計を変えられるなら、そちらのほうが安上がりです
3. 損失が増えてよいか — 素子が増えれば損失も増えます。|S21| も同時に見る必要があります（S11 だけでは足りない話）

とくに3番目です。段を増やすと整合は良くなり、通過は悪くなります。 素子1つあたりの損失は小さくても、4素子になれば効いてきます。効率が主役の回路では、帯域と損失のどちらを取るかという判断になります。

手を動かす

段数を変えて掃引を見比べると、この話はすぐ確認できます。

Smith Match — 整合回路デザイナー

素子を4つ並べて2段構成にし、掃引範囲を 0.5 〜 2 GHz あたりまで広げてみてください。主帯域が広がることと、上のほうに第2の谷ができることが同時に見えます。 掃引を 0.9 〜 1.1 GHz に絞っていると、後者には決して気づけません。