負荷モデルの選び方 — 「R + jX 一定」が設計を甘く見せる

整合回路を設計するとき、負荷をどうモデル化するかは意外と結果を左右します。とくに 「R + jX 一定」という置き方は便利ですが、物理的ではありません。単一周波数の設計なら問題になりませんが、帯域を見た瞬間に嘘をつきます。

「R + jX 一定」とは何を仮定しているか

負荷が 50 − j50 Ω だとします。これを「周波数によらず 50 − j50 である」と置くのが R + jX 一定のモデルです。

しかし現実に −j50 のリアクタンスを作っているのは、コンデンサかそれに類する何かです。コンデンサのリアクタンスは周波数に反比例します。

X_C = −1 / (ωC)

周波数が半分になればリアクタンスは2倍になり、2倍になれば半分になります。周波数によらず一定でいられる純リアクタンスは存在しません。

つまり R + jX 一定は「その周波数でのスナップショット」であって、周波数特性としては物理的に成り立たないモデルです。

同じ設定で比べてみます。1 GHz で 50 − j50 Ω になる負荷を2通りにモデル化します。

1 GHz では両者は完全に同一のインピーダンスです。区別はできません。

これを直列 L で整合させます。−j50 を打ち消すので L = 7.9577 nH。設計周波数ではどちらも完全に整合します。

周波数を振ると、こうなります。

|S11| が −15 dB を下回る比帯域で見ると、

モデルA（R + jX 一定）  72.3 %
モデルB（R-C 直列）     36.1 %

倍の差です。非物理なモデルを使うと、帯域が実際の2倍あるように見えます。

どちらも f0 では完全に整合するが、離れたときの崩れ方が違う。−15 dB を横切る位置が倍ほど動く。

理由は、リアクタンスが動く向きにあります。整合後の合計リアクタンスを書き下すと差がはっきりします。

モデルA:  X(f) = ωL − 50      = 50 (f/f0 − 1)
モデルB:  X(f) = ωL − 1/(ωC)  = 50 (f/f0 − f0/f)

モデルAでは、動くのはインダクタだけです。負荷側の −50 は固定なので、ずれはインダクタの分しか増えません。

モデルBでは、インダクタが増える方向に、コンデンサは減る方向に動きます。打ち消し合っていた2つが両側から離れていくので、ずれは倍の速さで開きます。0.7 × f0 で計算すると、

モデルA:  50 × (0.7 − 1)       = −15.0 Ω
モデルB:  50 × (0.7 − 1.4286)  = −36.4 Ω

これが帯域の差になって表れます。物理的な負荷のほうが、整合は早く崩れます。

用途で切り分けられます。

実務では3番目が理想です。デバイスメーカーが S パラメータを配布していれば、モデルを推測する必要はありません。モデル化が要るのは、データが無いときの代用だと考えるのが健全です。

データが無く、モデルを立てるしかないときは、リアクタンスがどこから来ているかで選びます。

直列か並列かは、周波数を上げたときにどちらへ向かうかで見分けられます。R-C 直列は高周波でリアクタンスが消えて R に近づきます。R-C 並列は高周波でインピーダンス全体が小さくなり、原点へ向かいます。2点以上の測定値があれば、どちらのモデルが合うかは判別できます。

この種の誤差が厄介なのは、設計段階では何も間違って見えないところです。設計周波数の値は正しく、整合も完璧に取れています。問題が出るのは試作して帯域を測ったときで、そこで初めて「シミュレーションより狭い」と気づきます。

帯域が想定より狭いとき、疑うべき順序があります。

1番目は計算上の問題なので、試作前に潰せます。 潰しておかないと、2番目・3番目を疑って実物をいじり続けることになります。

負荷モデルを切り替えて比べられると、この差はすぐ確認できます。

負荷モデルとして R + jX 一定のほか、R-L / R-C の直列・並列を選べるようにしてあります。R + jX 一定を選んだときに「周波数特性が物理的ではない」と注意書きを出しているのは、まさに今回の理由からです。同じ設計のままモデルだけ切り替えると、掃引の形が変わるのが見えます。